Relation analytique pour le calcul direct des pertes de charge en conduite distribuant un débit de façon homogène établi à partir de la formule de Blasius.

Hypothèses

On suppose une conduite de longueur $L$, diamètre intérieur $D$, avec un débit en tête $Q$. On calcule la perte de charge $\Delta H$ entre les 2 extrémités de la conduite. Dans une section de débit $q$ constant, on évalue le coefficient de frottement avec la formule de Blasius, valide pour des nombres de Reynolds modérés pour des parois lisses:

$$\lambda \simeq a Re^{-0.25}$$

avec $a\simeq 0.3164$. La loi universelle de perte de charge (Darcy-Weisbach) nous donne $dH/dx=\lambda u^2/(2gD)$, $g$ étant la constante gravitationnelle, $u$ la vitesse longitudinale moyenne dans la conduite au point considéré.

Développement analytique

On note $x$ la position depuis l’aval de la conduite. Le débit est supposé varier linéairement avec $x$, et s’écrit alors:

$$q(x)=Q x/L$$

Notons $S=\pi D^2/4$ la surface intérieure de la conduite.
On obtient la perte de charge en intégrant la relation de Darcy-Weisbach:

$$\Delta H=\int_{x=0}^{L} a Re^{-0.25} \frac{u^2(x)}{2gD}dx$$

Notons $\nu$ la viscosité cinématique. On remplace alors $Re$ par $u D/\nu$, ce qui donne

$$\Delta H=\int_{x=0}^{L} a u(x)^{-0.25}D^{-0.25}\nu ^{0.25} \frac{u^2(x)}{2gD}dx$$

En réarrangeant, on obtient:

$$\Delta H=\int_{x=0}^{L} a \nu ^{0.25} \frac{u^{1.75}(x)}{2gD^{1.25}}dx$$

Utilisons l’équation du débit pour faire apparaître le débit ($u(x)=q(x)/S$):

$$\Delta H=\int_{x=0}^{L} a \nu ^{0.25} \frac{(Qx/(LS))^{1.75}}{2gD^{1.25}}dx$$

puis le diamètre $D$:

$$\Delta H=\int_{x=0}^{L} a \nu ^{0.25} \frac{(4Qx/(L\pi D^2))^{1.75}}{2gD^{1.25}}dx$$

On réarrange pour obtenir

$$\Delta H=a \nu ^{0.25} \frac{(4/\pi)^{1.75}Q^{1.75}}{2g D^{4.75}} \int_{x=0}^{L} (x/L)^{1.75}dx$$

En intégrant, on obtient

$$\Delta H=a \nu ^{0.25} \frac{(4/\pi)^{1.75}Q^{1.75}}{2g D^{4.75}}\frac{L}{2.75} $$

$$\Delta H=a \nu ^{0.25} \frac{4^{1.75}}{5.5g \pi^{1.75}}\frac{Q^{1.75}L}{D^{4.75}} $$

Application numérique

Pour une eau à 20°C: $\nu\simeq 10^{-6}m^2/s$, ce qui donne

$$\Delta H=0.323\ 10^{-3}\frac{Q^{1.75}}{D^{4.75}}L $$

avec $\Delta H$ en mètres.

Pour une eau à 50°C, $\nu\simeq 0.556 10^{-6}m^2/s$, ce qui implique que la perte de charge est réduite d’environ 14%, soit

$$\Delta H= 0.28\ 10^{-3}\frac{Q^{1.75}}{D^{4.75}}L $$

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